Question

1/(sinx+cosx)的不定积分怎么求？？

Answer 1

具体回答如下：

∫1/(sinx+cosx) dx

=∫1/[√2(sinxcosπ/4+sinπ/4·cosx)]dx

=∫1/[√2sin(x+π/4)] dx

=√2/2 ∫csc(x+π/4) d(x+π/4)

=√2/2 ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫1/(sinx+cosx) dx

=∫1/[√2·(sinxcosπ/4+sinπ/4·cosx)]dx

=∫1/[√2·sin(x+π/4)] dx

=√2/2 ∫csc(x+π/4) d(x+π/4)

=√2/2 ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

令u = tan(x / 2)，dx = 2du / (1+u²)
sinx = 2u / (1+u²)，cosx = (1 - u²) / (1 + u²)
∫ dx / (sinx + cosx)
= ∫ 2 / 【(1 + u²) * [2u / (1+u²) + (1 - u²) / (1 + u²)]】 du
= 2∫ du / (-u² + 2u + 1)
= 2∫ du / [2 - (u - 1)²]
= 2∫ dy / (2 - y²)，y=u - 1
= (1 / 2√2)ln|(y + √2) / (y - √2)| + C
= (1 / 2√2)ln|(u - 1 + √2) / (y - 1 - √2)| + C
= (1 / 2√2)ln|[tan(x / 2) - 1 + √2] / [tan(x / 2) - 1 - √2)| + C
= √2arctanh【[tan(x / 2) - 1] / √2】+ C

Answer 5

运用插入辅助角公式 sinx+cosx=（√2）sin(x+π/4)
∫ dx / (sinx + cosx)
=∫ d(x+π/4)/（√2）sin(x+π/4)
=√2/2 ln |tan(x/2+π/8)| +C