Question

无理数的概念和证明方法

Answer 1

无限不循环的小数就是无理数。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π等。

无理数的概念

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明方法

例子：证明根号2是无理数：

证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）

所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2

所以 m^2/n^2=2

所以 m^2=2*n^2

所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）

所以 m^2=4k^2=2n^2

所以 n^2=2k^2

所以 n是偶数

因为 m、n互质

所以矛盾，即根号2不是有理数，它是无理数。