Question

密度函数和分布函数的关系是什么?

Answer 1

概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。

1、概念不同：概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小；分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。

分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

2、描述对象不同：概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型。

3、求解方式不同：已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。

对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

分布函数的性质：

1、非负有界性 0≤F(X)≤1。

2、单调不减性。

证明：即对任意的X1<X2时，有F(X1)<=F(X2)，这是因为当X1<X2时，P{x1<X<x2}=P{X<=x2}-P{X<=x1}>=0，即：

P{x1<X<x2}=F(x2)-F(x1)>=0。从而证明F(x1)<=F(x2)。

3、右连续性 F(x+0)=F(x)。