Question

(x³+xy²+x²)dx+x²ydy=0求通积分

Answer 1

因为∂(x^3+xy^2+x^2)/∂y=2xy=∂(x^2y)/∂x
所以原方程是全微分方程
d(x^4/4+x^2y^2/2+x^3/3)=0
x^4/4+x^2y^2/2+x^3/3=C，其中C是任意常数
3x^4+6x^2y^2+4x^3=C

Answer 2

因为
x³+xy²+x²对y求导为2xy
x²y对x求导为2xy
则可知上述为某函数的全微分，
根据全微分求导法则，
可令为
p(x,y)
则p'ₓ(x,y)=x³+xy²+x²
所以，p(x,y)=1/4x⁴+1/2x²y²+1/3x³+φ(y)+C2
而p'ᵧ(x,y)=x²y
则p(x,y)=1/2x²y²+ψ(x)+C1
比较上述两式可知有
p(x,y)=1/4x⁴+1/2x²y²+1/3x³+C