Question

三角形几何问题

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为多少？
要证明过程
图片上传不了 我发到空间了 传送门：https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/823313041/abpic/item/7b5af5ee4132c088b21cb1f4.jpg

Answer 1

∵BCD是等腰三角形
∴BD=CD
∵∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=90°
将△CDN以D为中心轴逆时针旋转120°
∴DN=DN'（旋转得）
∵∠MDN=60°
∴∠MDN'=60°=∠MDN
∴△MDN≌△MDN'（SAS）
∴MN'=MN=BM+CN（旋转得）
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC=6

Answer 2

延长NC至K使CK=BM，连接DK
∠MBD=∠∠DCK=90°
BD=CD，BM=CK
△MBD≌△DCK
DM=DK
∠MDN=∠NDK=60°
，DN=DN
△MDN≌△NDK
MN=NK=BM+CN
周长=AM+BM+AN+CN=AB+AC=6

Answer 3

答案等于6，一个很简单的方法是当N点一到C处，此时M点也就刚好与A点重合。AMN的周长等于AM+AN+MN=AC+CA+AA=6,这是极限的方法求解的！

Answer 4

解：
延长AB到点F，使BF=CN，连接DF
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠BDC=120°，DB=DC
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠DBF=∠DCN=90°
∴△DBF≌△DCN
∴DF=DN，∠FDB =∠CDN
∴∠FDN=∠BDC=120°
∵∠MDN=60°
∴∠FDM=∠MDN=60°
∵AD=AD
∴△DMF≌△DMN
∴MN=MF=BM+BF=BM+CN
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AB+AC=6

Answer 5

三角形有稳定性

追问

问题已经补充。。。

Answer 6

当点D在△ABC内时，∵△BDC为等腰△，∴DB=DC,又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴BD,CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线∵以D为顶点作一个60°角，且使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，∴点M,D,C共线，点N,D,B共线。又∵BD,CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且△ABC是边长为3的等边三角形，∴AN=CN=AM=BM=3/2,且∠A=60°∴∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN为正△，∴AM=AN=MN=3/2,∴△AMN的周长为9/2