Question

椭圆离心率问题－ － ....

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,以其做焦点F1 (-c,0)为圆心,a-c为半径作圆（a大于b大于0），国上定点B2(0,b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M.N，若过MN的直线过下顶点B1(0,-b)，求椭圆的离心率－ － .........

Answer 1

设M(x1,y1) N(x2,y2)
圆F1:(x+c)²+y²=(a-c)²
过M的切线方程l1: (x1+c)(x+c)+y1y=(a-c)²
过N的切线方程l2: (x2+c)(x+c)+y2y=(a-c)²
因为l1,l2都过B2(0,b)
代入得,c(x1+c)+by1=(a-c)²
c(x2+c)+by2=(a-c)²
比较两式可知直线MN方程为c(x+c)+by=(a-c)²
即 cx+by-a²+2ac=0
把B1(0,-b)代入得:a²+b²-2ac=0
<=>c²+2ac-a²=0
<=>e²+2e-2=0
解得:e=√3-1 或e=-1-√3(舍去)
故椭圆离心率为√3-1

= =不知道有没算错诶..

Answer 2

【注：方法非常，请慢慢看】解：易知，圆F1：(x+c)²+y²=(a-c)².以线段F1B2为直径的圆的方程为：x(x+c)+y(y-b)=0.该圆与圆F1相减，消去二次项，就是两个圆的公共弦MN的方程：cx+by=a²-2ac.又直线MN过点B1(0，-b).∴-b²=a²-2ac.===>a²+a²-c²=2ac.===>2-e²=2e.==>(e+1)²=3.===>e=(√3)-1.