Question

数学题，你敢挑战吗？

要求，完美的解答过程。
第一题。
已知〔1+x〕+〔1+x〕^2+....〔1+x〕^n=a0+a1x+a2x+...+anx^n成立，如果a1+a2+...+a（n-1）=29-n，那么自然数n值为多少？
第二题。
将4本不同的书分给3个人，且每个人至少一本的分法种数为多少？
第三题。
在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱柱A-BCD的体积是多少？

Answer 1

（1）1+x=1+x 1 1
〔1+x〕^2=1+2x+x^2 1 2 1
〔1+x〕^3=1+3x+3x^2+x^3 1 3 3 1
〔1+x〕^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4 1 4 6 4 1
........
这是杨辉三角（不懂上网找，很简单的），显然a0=n，an=1，所以a0+a1+a2+...+a（n-1）+an=30
由上图可得第一到第四行的数字和刚好是30
所以n=4
（2）将书标号分别为1,2,3,4，学生标号为a,b,c；
将书分成3部分，共有6中方法（12、3、4）；（13、2、4）；（14、2、3）；（23、1、4）；（24、1、3）；（34、1、2）；
这3部分按不一样的顺序分给3个学生，共有6种情况（abc）；（acb）；（bac）；（bca）；（cab）；（cba）;
所以一共有6×6=36种方法。
（3）首先设AB=AC=AD=x
易得DF=√3/2,EF=AD/2=x/2
在等腰三角形ABD中，AB=AD=x，BE=x/2,BD=1，设ED=y，可对角ABD使用两次余弦定理，（一次放在三角形BED中，一次放在三角形ABD中）,可解得y=√(1/2+x^2/4),
又EF⊥DE，根据勾股定理，EF^2+ED^2=DF^2,即x^2/4+y^2=3/4,解得x=√2/2
所以斜边为√2/2，过A做底面投影O，则DO=2DF/3=√3/3,AD=√2/2，易得高AO=√6/6，所以V=sh/3,s=1/2*1*√3/2=√3/4,V=√3/4*√6/6*1/3==√2/24

Answer 2

不敢，太难

Answer 3

第一题：n=15
先求a0，
前面可以化成，(1+x)(1+n)=a0+a1x+……anx^n
令x=0,得a0=1+n
再令n=n-1,同时x=1
2n=a0+a1+a2……a(n-1)
2n=1+n+29-n
n=15
第二题：有3种分法，2、1、1 1、2、1 1、1、2
第三题：

Answer 4

第一道展开就好了－ － ....C(MN)(1^M-N)(X^N)...也就是说a0＝C10+C20+C30....+Cn0.. a2＝C11+C21+C31+C41.....+Cn1 a2＝C22+C32+C42+C52+.....Cn2.....规律就这了...
第二道 先挑出来两本C42捆绑在一起，然后三类再排序A33
第三道画个图把－ －