Question

1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6......

Answer 1

如果不用数学归纳法，你可以这样做： 设1^2+2^2+3^2+...+n^2 = an^3 + bn^2 + + d 当n=1时， 1^2=a+b+c+d-----------------------------------(1) 当n=2时， 1^2+2^2=8a+4b+2c+d-----------------------(2) 当n=3时， 1^2+2^2+3^2=27a+9b+3c+d---------------(3) 当n=4时， 1^2+2^2+3^2+4^2=64a+16b+4c+d-------(4) 解方程组(1)
(2)
(3)
(4)，得： 2010-08-29 09:41:56 补充： a=1/3 b=1/2 c=1/6 d=0 2010-08-29 09:44:24 补充： 所以1^2+2^2+3^2+...+n^2 = an^3 + bn^2 + + d =(1/3)n^3 + (1/2)n^2 + (1/6)n + 0 =(1/6)n(2n^2+3n+1) =1/6n(n+1)(2n+1) 2010-08-29 17:23:23 补充： 首先我们看看这个： 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 是一个二次式，因为拆出来是(n^2+n)/2，然后我们推测 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2的公式会是一个三次式， 题外话，同样地 1^3 + 2^3 + 3^3 + ...... + n^3的公式会是一个四次式，如此类推。 以上的做法我用了待定系数法来求，如果出来的是一次式，就是这样： an+b，当中a和b不是未知数，而是"等待求出来的数" 如果是二次式，就是这样： an^2 + bn + c，当然你可以用其他字母来代替a
b
c，纯綷是习惯。 2010-08-29 17:26:42 补充： 如果是三次式，就是这样： an^3 + bn^2 + + d，不知阁下的程度去到那里，能否理解以下的话： a是n^3的系数，b是n^2的系数，c是n的系数，d是常数项。 当然，1^2+2^2+3^2+...+n^2可表示为一个二次式这话只是推测，如果不放心做出来的效果，可以这样设： 1^2+2^2+3^2+...+n^2=an^7 + bn^6 + ^5 + dn^4 + en^3 + fn^2 + gn + h，把n=1
2
3
4
5
6
7分别代入其中，最后解方程组，其实都是一样，你会得到： 2010-08-29 17:31:53 补充： a=0 b=0 c=0 d=0 e=1/3 f=1/2 g=1/6 h=0 你现在会否明白些？ 以上做法虽然非正式，因为设多少次时是猜出来的，但也是一个对初学者来说很好的做法。 用以上做法，你还可以得到1^x + 2^x + 3^x + ...... + n^x的公式，即任意次方和的公式，当然求1^3 + 2^3 + 3^3 + ...... + n^3时要解五元一次方程组，解1^4 + 2^4 + 3^4 + ...... + n^4时就要解六元一次方程组了。
参考:
希望可以帮到你
如果阁下还有不明白的，请提出。我尽量希望帮到你。
1^2 = 1 2^2 = 1 + 3 3^2 = 1 + 3 + 5 ... n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 Σk^2 = 1xn + 3x(n-1) + 5x(n-2) + ... + 2n-1 = Σ(2k-1)(n-k+1) = Σ(2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1) 3Σk^2 = (2n + 3)Σk - (n + 1)Σ1 = (2n + 3)n(n + 1)/2 - n(n + 1) = n(n + 1)(2n + 1)/2 Σk^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
可考虑如下: 图片参考：i388.photobucket/albums/oo325/loyitak1990/Aug10/Crazysum1 如不见此图
请见: i388.photobucket/albums/oo325/loyitak1990/Aug10/Crazysum1
参考: Myself