Question

求，空间向量解立体几何例题，多点题目，急。

Answer 1

例1. 已知点A（2，3，0）、B（－1，0，2）、C（0，1，1），求平面ABC的法向量。
　　解析：向量AB=（-3，-3，2），AC=（-2，-2，1），
　　　　　设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）
　　　　　则n与AB，AC都垂直，得方程组
　　　　　，解得
　　　　　从而n=（x，-x，0），可取一个法向量为n=（1，-1，0）
　　2. 求证A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）四点共面。
　　解析：
　　法一：AB=（-1，3，-5），AC=（-3，5，-5），AD=（-2，2，0）
　　　　　设AD=xAB+yAC，得方程组，解得
　　　　　由共面向量定理，四点共面。
　　法二：AB=（-1，3，-5），AC=（-3，5，-5）
　　　　　设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）
　　　　　则n与AB，AC都垂直，得方程组
　　　　　，解得
　　　　　从而可取一个法向量为n=（5，5，2）
　　　　　n=（5，5，2）与AD=（-2，2，0）的数量积为0.从而n与AD垂直
　　　　　说明AD与AB，AC共面，
　　　　　又有公共点A，所以四点共面。
　　法三：AB=（-1，3，-5），CD=（1，-3，5）
　　　　　AB，CD平行，所以四点共面。
　　注意：法一中方程组要用两个方程解，一个方程验。在向量共面的基础上再利用有公共点得出四点共面。
　　3．在正方体中，求证：是平面的法向量.
　　解析：
　　法一：，，因此是平面的法向量.
　　法二：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1.
　　　　　则A（1，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），
　　　　　D（0，0，0），D1（0，0，1）
　　　　　向量AD1=（-1，0，1），AC=（-1，1，0），
　　　　　设平面的法向量为n=（x，y，z），则得方程组
　　　　　，解得
　　　　　从而可取一个法向量为n=（1，1，1）
　　　　　另一方面，DB1=（1，1，1）
　　　　　因此是平面的法向量.
　　4．用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
　　已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．
　　求证：OA//BD．
　　证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，
　　　　　建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，
　　　　　且设＝．
　　　　　∵BD⊥α，∴⊥i，⊥j，
　　　　　∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，
　　　　　·j＝·(0,1,0)＝y＝0,
　　　　　∴＝(0,0,z)．∴＝zk，即//k．
　　　　　由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．
　　5．如图正方体ABCD-中，E、F、G分别是、AB、BC的中点．
　　（1）证明：⊥EG；
　　（2）证明：⊥平面AEG；
　　（3）求，
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴，
　　　　　建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，
　　　　　则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），
　　　　　E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．
　　　　　（1），，-a），，0，，
　　　　　　　 ∵，
　　　　　　　 ∴．
　　　　　（2），a，），
　　　　　　　 ∴．
　　　　　　　 ∴，∵，
　　　　　　　 ∴平面AEG．
　　　　　（3）由，a，），＝（a，a，）
　　　　　　　
　　6．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．
　　证明：如图建立空间直角坐标系，
　　　　　则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）
　　　　　＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）
　　　　　设，，
　　　　　（、、，且均不为0）
　　　　　设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
　　　　　由可得，即
　　　　　解得：＝（1，1，－1）
　　　　　由可得，即
　　　　　解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，
　　　　　所以平面A1EF∥平面B1MC．
　　注意：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．
　　7．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
　　（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
　　（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
　　解析：
　　（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
　　　　　　　 又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．
　　　　　　　 又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，
　　　　　　　 故BE⊥PD．
　　（2）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
　　　　 则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．
　　　　 ∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．
　　　　 于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．
　　　　 过E作EF⊥AD，垂足为F，
　　　　 在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，
　　　　 ∴E（0，a）
　　　　 于是，=（－a，a，0）
　　　　 设与的夹角为θ，则由
　　　　 cosθ=
　　　　 AE与CD所成角的余弦值为．
　　注意：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
　　8. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2， 底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.
　　解析：如图，以D为坐标原点，
　　　　　分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
　　　　　则C1（0，1，2），B（2，4，0）
　　　　　所成的角为，
　　　　　则
　　　　　∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
　　9．如图,已知是边长为4的正方形,E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，试在平面上找一点,使得是平面的法向量.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：如图所示建立空间直角坐标系,
　　　　　　
　　　　　则.
　　　　　,
　　　　　.
　　　　　∵点,
　　　　　，
　　　　　∴．
　　　　　是平面的法向量的充要条件是．
　　　　　∴解之，得
　　　　　∴，
　　　　　即．
　　10. 如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，∠BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点．
　　（1）求的长；
　　（2）求，的值；
　　（3）求证．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O．
　　（1）依题意得B，N，
　　　　 ∴．
　　（2）依题意得，B，C，．
　　　　 ∴，．
　　　　 ,，．
　　　　 ∴．
　　（3）证明：
　　　　 依题意得：
　　　　 ，M，，，
　　　　 ∴，∴．