Question

判别式与根的情况？

Answer 1

判别式
[编辑本段]定义
任意一个一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）均可配成(x+(b/2a))^2=b^2-4ac,因为a≠0,由平方根的意义可知,b^2－4ac的符号可决定一元二次方程根的情况．
b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式,用“△”表示(读做delta),即△＝b^2－4ac．
1 一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况判别
（1）当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；
（2）当△＝0时,方程有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时,方程没有实数根．
（1）和（2）合起来：当△≥0时,方程有两实数根．
上面结论反过来也成立．可以具体表示为：
在一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）中,
①当方程有两个不相等的实数根时,△＞0；
②当方程有两个相等的实数根时,△＝0；
③当方程没有实数根时,△＜0.
注意 根的判别式是△=b^2－4ac,而不是△=sqrt(b^2－4ac) .(sqrt指根号)
2 一元二次方程的判别式的应用
（1）不解方程,判别一元二次方程根的情况．
它有三种不同层次的类型：
①系数都为数字；
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
（2）根据一元二次方程根的情况,确定方程中字母的取值范围或字母间关系．
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）
[编辑本段]应用
① 不解一元二次方程,判断根的情况.
② 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围.
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根.
④ 应用根的判别式判断三角形的形状.
⑤ 判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程.
⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点
抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点 （1）当y=0时,即有ax^2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax^2+bx+c=0.可见,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
① 当Δ＞0时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1,0）（x2,0）.
②当Δ＝0时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是（-b/2a）.
③当 Δ＜0时,抛物线与x轴没有交点.
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
⑨当a>0时,抛物线开口向上,当a,4,大于0，两根
等于0，一个根
小于0，没有根,0,