已知正方体ABCD-A’B’C’D’,求证A’C垂直平面BC’D
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连接BD,交AC于E,取AA'的中点F,连接EF.知EF//A'C (中位线定理).
连接DF,BF.知DF =BF.即三角形BDF为等腰三角形,而EF为底边上的中线,故EF垂直于BD.
进而知:A'C垂直于BD.(1)
同理:连接D'C,交C'D于G,再取A'D'的中点H,连接GH,知GH//A'C.
连接DH,C'H,知DH = C'H.从而知GH垂直于DC'
.进而知A'C垂直于DC'.(2)
由(1)(2),知A'C垂直于平面BC'D.(垂直于两相交直线,就垂直于它们所在的平面).
连接DF,BF.知DF =BF.即三角形BDF为等腰三角形,而EF为底边上的中线,故EF垂直于BD.
进而知:A'C垂直于BD.(1)
同理:连接D'C,交C'D于G,再取A'D'的中点H,连接GH,知GH//A'C.
连接DH,C'H,知DH = C'H.从而知GH垂直于DC'
.进而知A'C垂直于DC'.(2)
由(1)(2),知A'C垂直于平面BC'D.(垂直于两相交直线,就垂直于它们所在的平面).
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