Question

设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使角F1PF2等于120度，则椭圆的离心率e的取值范围是多少？

Answer 1

问题的关键是存在，则只需要∠F1PF2的最大值能达到120°即可，而∠F1PF2的最大值是当点P在短轴端点时取得的，从而只要a≥2b即可，即：a²≥4b²=4a²－4c²，得：4c²≥3a²，e²=c²/a²≥3/4，则e≥√3/2，从而有：√3/2≤e<1。

追问

我不太明白，为什么会有a≥2b？

追答

好的。我说，你顺便画好图。
若椭圆的上顶点【就是短轴端点】是B，左右焦点分别是F1、F2，则只要使得∠F2BO≥60°就可以了，此时三角形F2BO是一个90°、60°、30°的直角三角形，F2B=a，BO=b，则只要满足a≥2b就能保证∠F2BO≥60°。