Question

计算曲面积分∫∫∑ zdxdy+xdydz+ydzdx,其中∑是柱面x²+y²＝1被平面z＝0和z

Answer 1

把x+y+z=1带进去之后，原曲面∑，补上三个坐标平面∑1，∑2，∑3形成封闭曲面，用高斯定理，因为在三个坐标平面上的积分为0，所以原积分=(1/2)∫∫∑+∑1+∑2+∑3 xdydz+ydzdx+zdxdy=(3/2)∫∫∫dV=(3/2)*8*(1/6)=2。

对于闭曲面内部有奇点的情形，也可以仿照格林公式，挖去奇点应用高斯公式在复连通立体上，再减去内部闭曲面上的积分就得到原积分。

若曲面是开曲面，但被积函数复杂，考虑添加辅助曲面，变成闭曲面后，利用高斯公式计算，最后再减去辅助曲面上的积分，若被积函数复杂，但又不合适作用高斯公式，可以尝试向量形式的曲面积分。

扩展资料：

注意事项：

1、直接计算方法，参数方程表达式直接代入，转换为定积分计算的方法。注意定积分下限为起点对应的参数，上限为终点对应的参数。

2、两类曲线积分之间的关系. 注意方向余弦构成的切向量的方向应与曲线方向一直。

3、格林公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。(注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)。

4、积分与路径无关(格林公式)。

参考资料来源：百度百科-曲面积分

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示