任意a,b,c属于R,证明方程e^x=ax^2+bx+c最多有三个实根.
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证明：令y=e^x-ax^2-bx-c;
则y'=e^x-2ax-b；y''=e^x-2a
单增函数y''最多只有一个零点x=ln(2a),(a>0),此零点将y'=e^x-2ax-b的图像分成两部分,右边单增,左边单减；
所以y'=e^x-2ax-b的图像与x轴最多只有两个交点,即y'=e^x-2ax-b的零点最多为两个,这两个零点将y=e^x-ax^2-bx-c的图像分成三部分,左边单增,中间单减,右边单增；所以y=e^x-ax^2-bx-c的图像与x轴最多只有三个交点,即y=e^x-ax^2-bx-c最多只有3个零点.所以,方程e^x=ax^2+bx+c最多有三个实根.
则y'=e^x-2ax-b；y''=e^x-2a
单增函数y''最多只有一个零点x=ln(2a),(a>0),此零点将y'=e^x-2ax-b的图像分成两部分,右边单增,左边单减；
所以y'=e^x-2ax-b的图像与x轴最多只有两个交点,即y'=e^x-2ax-b的零点最多为两个,这两个零点将y=e^x-ax^2-bx-c的图像分成三部分,左边单增,中间单减,右边单增；所以y=e^x-ax^2-bx-c的图像与x轴最多只有三个交点,即y=e^x-ax^2-bx-c最多只有3个零点.所以,方程e^x=ax^2+bx+c最多有三个实根.
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2025-04-08 广告
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