Question

求级数 1/(2n+1)2^n 的和 （1<n<无穷）！！！！！！！！

具体过程！！！！！！！！！！！

Answer 1

具体回答如下：

(2n+1)'/(2ⁿ)'

=2/[n×2^(n-1)] /2^(n-1)

n->+∞

2^(n-1)->+∞ n×2^(n-1)->+∞

2/[n×2^(n-1)]->0

lim[(2n+1)/2ⁿ]=0

n->+∞

级数的意义：

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0（因此，有时也称为非负项级数），于是级数(∑un)收敛等价于部分和(sm)有界。

正项级数之外，如果一个级数没有正项，或者只有有限个正项，或者只有有限个负项，则其收敛问题都可以归结到一个正项级数的收敛问题，所以只需考虑一个级数既有无限个正项又有无限个负项的情形。

Answer 2

|x|<1时
f(x)=∑_{n=1->无穷}x^(2n)=x^2∑_{n=1->无穷}(x^2)^(n-1)=x^2/(1-x^2)=[x^2-1+1]/(1-x^2)
=-1 + 1/[(1-x)(1+x)] = -1 + (1/2)[1/(1-x) + 1/(1+x)]
= -1 + (1/2)/(1-x) + (1/2)/(1+x)
g(x)=∫_{t:0->x}f(t)dt=∫_{t:0->x}{∑_{n=1->无穷}t^(2n)}dt= ∫_{t:0->x}{-1 + (1/2)/(1-x) + (1/2)/(1+x)
}dt
= -x -(1/2)ln(1-x) +(1/2)ln(1+x)
又,
g(x)=∫_{t:0->x}{∑_{n=1->无穷}t^(2n)}dt = ∑_{n=1->无穷}∫_{t:0->x}t^(2n)}dt
= ∑_{n=1->无穷}x^(2n+1)/(2n+1)
因此,
|x|<1时,
∑_{n=1->无穷}x^(2n+1)/(2n+1) = -x -(1/2)ln(1-x) +(1/2)ln(1+x)
令x=(1/2)^(1/2)
∑_{n=1->无穷}(1/2)^[(2n+1)/2]/(2n+1) = -(1/2)^(1/2) - (1/2)ln[1-(1/2)^(1/2)] + (1/2) ln[1+(1/2)^(1/2)]
(1/2)^(1/2)∑_{n=1->无穷}(1/2)^n/(2n+1) = ∑_{n=1->无穷}(1/2)^[(2n+1)/2]/(2n+1)
∑_{n=1->无穷}(1/2)^n/(2n+1) = 2^(1/2) ∑_{n=1->无穷}(1/2)^[(2n+1)/2]/(2n+1)
=[2^(1/2)]{-(1/2)^(1/2) - (1/2)ln[1-(1/2)^(1/2)] + (1/2) ln[1+(1/2)^(1/2)]
}
= -1 - 1/2^(1/2) ln[1-1/2^(1/2)] + 1/2^(1/2) ln[1+1/2^(1/2)]

追问

答案是 √2ln(√2+1) 再算算吧 呵呵

追答

是从0->无穷啊.
那样的话,
|x|无穷}x^(2n)=1/(1-x^2)= (1/2)/(1-x) + (1/2)/(1+x)
g(x)=∫_{t:0->x}f(t)dt=∫_{t:0->x}{∑_{n=0->无穷}t^(2n)}dt= ∫_{t:0->x}{(1/2)/(1-x) + (1/2)/(1+x)
}dt
= -(1/2)ln(1-x) +(1/2)ln(1+x) = (1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
又,
g(x)=∫_{t:0->x}{∑_{n=0->无穷}t^(2n)}dt = ∑_{n=0->无穷}∫_{t:0->x}t^(2n)}dt
= ∑_{n=0->无穷}x^(2n+1)/(2n+1)
因此,
|x|无穷}x^(2n+1)/(2n+1) = (1/2)ln[(1-x)/(1+x)]
令x=(1/2)^(1/2)
∑_{n=0->无穷}(1/2)^[(2n+1)/2]/(2n+1) = (1/2)ln{[1+(1/2)^(1/2)]/[1-(1/2)^(1/2)]} =(1/2) ln{[1+(1/2)^(1/2)]^2/(1-1/2)} =(1/2)ln{[1+2^(1/2)]^2}=ln[1+2^(1/2)]

(1/2)^(1/2)∑_{n=0->无穷}(1/2)^n/(2n+1) = ∑_{n=0->无穷}(1/2)^[(2n+1)/2]/(2n+1)
∑_{n=0->无穷}(1/2)^n/(2n+1) = 2^(1/2) ∑_{n=0->无穷}(1/2)^[(2n+1)/2]/(2n+1)
=[2^(1/2)]ln[1+2^(1/2)]
答案一致...

Answer 3

设S(x)=∑[x^(2n)]/(2n+1),
S(x)=∑[x^(2n+1)]'=[∑x^(2n+1)]'=[(x^3)/(1-x^2)]'
=(3x^2-x^4)/(1-x^2)^2
∑1/(2n+1)2^n=∑[(1/√2)^2n]/(2n+1)=S(1/√2)=(3*(1/2)-(1/4))/(1-(1/2))^2=5

追问

答案是 √2ln(√2+1) 再算算吧 呵呵

追答

设S(x)=∑[x^(2n)]/(2n+1) |x|<1
xS(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)
[xS(x)]'=∑x^(2n)=x²/(1-x²)
xS(x)=∫x²/(1-x²)dx=∫[1/(1-x²)-1]dx=(1/2)∫[1/(1-x)+1/(1+x)]dx-x+C=(1/2)ln|(1+x)/(1-x)|-x+C
x=0时，xS(x)=0*S(0)=(1/2)ln|(1+0)/(1-0)|-0+C C=0
∑1/(2n+1)2^n=∑[(1/√2)^2n]/(2n+1)=S(1/√2)
x=1/√2时,xS(x)=[(1/2)ln|(1+1/√2)/(1-1/√2)|]-1/√2
(1/√2)S(1/√2)=ln(1+√2)-1/√2
S(1/√2)=√2ln(1+√2)-1
为什么我算出的结果多一个常数
---------------------------------------------------
换种方法：xS(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)=(x^3)/3+(x^5)/5+(x^7)/7+……
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+……
-ln(1-x)=x+(x^2)/2+(x^3)/3+(x^4)/4+……
可见xS(x)=(1/2)[ln(1+x)-ln(1-x)]-x
得到的是和上面方法一样的结果，楼主的题设恐怕有误，如果n是从0到∞而不是从1到∞，那么才能计算出楼主给的那个结果

追问

对 确实是写错了 呵呵 不好意思， 应该是0到无穷。

那么以上几步应该改为什么呢？

追答

法1中第3行[xS(x)]'=∑x^(2n)=x²/(1-x²)
应改为∑x^(2n)=1/(1-x²)，应为首项为1，而不是x²，

法2中xS(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)=x+(x^3)/3+(x^5)/5+(x^7)/7+……
那么xS(x)=(1/2)[ln(1+x)-ln(1-x)]

(1/√2)S(1/√2)=[(1/2)ln|(1+1/√2)/(1-1/√2)|]=ln(1+√2)
S(1/√2)=√2ln(1+√2)
∑1/(2n+1)2^n=∑[(1/√2)^2n]/(2n+1)=S(1/√2)=√2ln(1+√2)

Answer 4

同求答案啊。。。做了好久也没做出来。。。。。
等明天问老师。。。。答案倒是有。。。万恶的高数练习册。。。。。

追问

呵呵 问出来了别忘了告诉我 谢谢啦！

追答

我问了老师了。。。。不过也没给出确切的。。。大概方法有的。。。
令f(x)=x^()2n/(2n(2n+1)) 最好一项一项写出来。。看下规律。，。。。发现求导两次后刚好就是x+x2+x3...求和。。。求出来后求出对x的二次积分。。。
然后就可以往下做了。。。和是x/(1-x2) 求第一次积分-0.5ln(1-x2)再求第二次积分。。。用分部积分求。。。

Answer 5

把2看成根2的平方就好做了