Question

如图，△ABC是等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.求证BP=2PQ.

如图，△ABC是等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.求证BP=2PQ.

Answer 1

解：
因为AB=AC,AE=CD,∠BAE=∠ACD=60度
所以△BAE与△ACD是全等三角形
则：∠ABE=∠CAD
又∠AEB=∠PEA
所以：△BAE与△APE是相似三角形
则：∠APE=∠BAE=60度
所以：∠APE=∠BPQ=60度
则在Rt△BPQ中，∠PBQ=30度
因为：sin∠PBQ＝PQ/BP=1/2
所以：BP=2PQ

Answer 2

在三角形BAE和ACD中，BA=AC,角BAE＝角ACD，AE=CD，所以两个三角形全等，所以角ABE=角CAD，
角BPQ=角ABE+角BAP＝角CAD+角BAP＝角BAC＝60度，
所以BP=2PQ

Answer 3

首先通过边角边 证明△ABE全等于△CAD,则角ABE等于角CAD，角ADB等于60度加上角CAD，则角QBD等于30度减角CAD，那么角ABE加上角QBD等于30度，所以角PBQ等于30度，则BP=2PQ

Answer 4

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠BAE=∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ

Answer 5

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．

又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD，BE=AD（全等三角形的对应角，对应边相等）

∵∠BPQ是△ABP的外角

∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，

∵PQ⊥BQ

∴∠PBQ=30°．

又∵BQ⊥PQ，∴PB=2PQ