Question

设f(x)=2x^2-x+1,A=(1 1)(0 1).求矩阵A的多项式f(A).

Answer 1

f是多项式，把矩阵A作为未定元代入多项式，得到的f(A)是矩阵，所写的特征多项式其实就是把行列式展开后的多项式形式。事实上|λE-A|只是特征多项式形式上的简写罢了，断然不能认为代入后是|A-A|，因为不能体现|λE-A|的多项式的实质；只需清楚|λE-A|是多项式在展开前的写法。

因为f(A)=0 又f(A)+4=A(A^4-5A^3+12A^2-16A+12E)

所以 |A|E=A(A^4-5A^3+12A^2-16A+12E) 那么daoA*=A^4-5A^3+12A^2-16A+12E

(A*)^5=4^4-5*4^3A*+12*16(A*)^2-64(A*)^3+12(A*)^4

所以A* 的极小多项式是 g(x)=x^5-12x^4+64x^3-192x^2+320x-256

扩展资料：

F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。

当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。

当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。

参考资料来源：百度百科-多项式