Question

高等数学高手请进。

（容易30分）1.设f(x)=2x^3/3 (x≤1)
x^2 (x>1)
则f（x）在x=1处（）
A左右都可导
B左右都不可导
C左导右不导
D右导左不导

我用左右极限定义解的题，结论是左右都可导，可跟答案不一样，请帮解释为什么？

（较难60分）2.lim(cosx)^(x-2)，当x→0，它的极限是（）
我的问题：原式子可以变形成（1+cosx-1）^……这种形式解题吗？
注解：有一种答案是转化成[1-2sin^2(x/2)]^……，我在答案书上看到的，本题请不要用这种方法。

（很难120分）3.lim{cos(π /4n)/n+cos(3π /4n)/n+……+cos[(2n-1)π /4n]/n}
当n→∞时，它的极限是（）
我的问题是能否利用定积分求极限和的方法解决。
注解：我看答案书，有一种解法，是乘以辅助因子sin(π /4n)三角和差化积求解。因为本题能提取1/n,区间[0，1]，所以我觉的可以用极限转化成定积分求解。究竟这题能用定积分吗？为什么？

解决这几个问题确实很麻烦的。不过请大家耐心，问题肯定难不倒真正的高手的，谢谢。

Answer 1

首先解答你的第一和第二个问题。我们设△x>0,那么根据定义f(x)在x=1处的左导数是lim[f(1)-f(1-△x)]/△x,其中△x→0，把f(1)=2/3,f(1-△x)=2(1-△x)^3/3代入计算你会发现上述极限值等于2，所以f(x)在x=1处的左导数存在，并且等于2。而它在x=1点处的右导数为lim[f(1+△x]-f(1)]/△x,△x>0且△x→0。这里f(1+△x)=2(1+△x)^2,特别小心这里的f(1)=2/3而不是1！代入后您会发现这个极限不存在！因而它在x=1的右导数不存在。估计你出错的原因是计算右导数时误将f(1)=1代入，得出它右可导的错误结论。所以f(x)在x=1处左导右不导，正确答案选C。
第二个问题：由于f(x)=(cosx)^(x-2)，在x=0处是连续的，因而x趋于0时它的极限值就是f(0),即1。故答案是1。它当然可以转化成（1+cosx-1）^……这种形式。事实上，原式＝(1+cosx-1)^{[1/(cosx-1)]*[(x-2)(cosx-1)]},又因为x→0时，cosx-1→0,从而lim(1+cosx-1)^[1/(cosx-1)]=e,又x→0时，(x-2)(cosx-1)→0,因此lim(cosx)^(x-2)=e^0=1。不过这样做似乎没有什么必要，呵呵。
第三题确实可以转化成定积分来计算，事实上，根据定积分的定义有(2π /4n)*cos(π /4n)+ (2π /4n)*cos(3π /4n)/n+……+(2π /4n)*cos[(2n-1)π /4n]/n，这里的被积函数f(x)就是cosx，△x=(2π /4n)，积分上下限是从0到π/2(因为n趋于无穷大时，(2n-1)π /4n趋于π/2)所以有lim[(2π /4n)*cos(π /4n)+ (2π /4n)*cos(3π /4n)/n+……+(2π /4n)*cos[(2n-1)π /4n]/n]＝∫cosxdx,积分从0积到π/2，由牛顿—莱布尼茨公式容易求得它的结果为1，因而lim[(2π /4n)*cos(π /4n)+ (2π /4n)*cos(3π /4n)/n+……+(2π /4n)*cos[(2n-1)π /4n]/n]＝1，即（π/2）* lim[cos(π /4n)/n+cos(3π /4n)/n+……+cos[(2n-1)π /4n]/n]=1,故lim[cos(π /4n)/n+cos(3π /4n)/n+……+cos[(2n-1)π /4n]/n]＝2/π。解答完毕，有什么问题欢迎继续讨论。

Answer 2

当左导数=右导数时此点才可导。