Question

高中数学（文科），解析几何。

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>o)经过点P（1，√2/2），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。
求（1）椭圆的方程。
（2）设mx+ny+1/3n=0(m,n∈R)交椭圆C于A，B两点试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得向量TA·向量TB=0。若存在，求出T的坐标，若不存在，试说明理由。

Answer 1

(1)椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>o)经过点P（1，√2/2），
∴1/a^2+1/(2b^2)=1.（1）
两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形,
∴b=c,a=b√2.(2)
代入（1），b^2=1,
代入（2），a^2=2.
∴椭圆方程为x^2/2+y^2=1.(3)
(2)把x=(-n/m)(y+1/3)=k(y+1/3)(其中k=-n/m)代入（3）*2，
（k^2+2)y^2+(2/3)k^2y+k^2/9-2=0,
△=（4/9）k^4-4(k^2+2)(k^2/9-2)
=(64/9)k^2+16,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=-2k^2/[3(k^2+2)],y1y2=(k^2-18)/[9(k^2+2)],
AB的中点为（2k/[3(k^2+2)],-k^2/[3(k^2+2)],
|AB|=(√△）/（k^2+2)*√（1+k^2),
∴以AB为直径的圆的方程是
{x-2k/[3(k^2+2)]}^2+{y+k^2/[3(k^2+2)]}^2=(16k^2+36)(k^2+1)/[3(k^2+2)]^2,
化简得x^2+y^2-4kx/[3(k^2+2)]+2k^2y/[3(k^2+2)]=(5k^2+6)/[3(k^2+2)],
这个圆过定点T(0,1),满足TA*TB=0.

Answer 2

1、把P（1，√2/2）代入 1/a^2+1/2*b^2=1 两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。
c=b a=√2b b=1 a=√2
x^2/2+y^2/1=1
2、mx+ny+1/3n=0
x^2/2+y^2/1=1联立 解出A B的坐标
设T为（x，y）这样xy满足 x^2/2+y^2/1=1
向量TA·向量TB=0
化简就知道T存在不

追问

就是A,B的坐标没有办法解出来诶....