Question

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC。若PA⊥BC，PB垂直AC,PC⊥AB，求O是△ABC

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC。若PA⊥BC，PB垂直AC,PC⊥AB，求O是△ABC（ ）心？
请给出证明

Answer 1

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的__中___点．
(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的__外__心．
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的__垂___心．

证明：
①
连接OA、OB、OC
∵PA＝PB＝PC且PO为公共边
∴Rt△AOP≌Rt△BOP≌Rt△COP
∴OA＝OB＝OC
∴O为△ABC的外心
(1)、(2)两问的答案即证出

②
连接AO、CO并延长交BC、AB于D、E两点
∵PA⊥PC，PB⊥PC
∴PC⊥面PAB
∴PC⊥AB
∵PO⊥α
∴PO⊥AB，PO∩PC＝P
∴AB⊥CO
同理BC⊥AO
∴O为高的交点
∴O为△ABC的垂心

追问

请您再看看题目好吗？不是这些条件了！
希望您能帮我解决这道题
谢谢

追答

3、 ∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴PC⊥平面APB，
∵AB∈平面APB
∴PC⊥AB，
∵PO⊥平面ABC，AB∈平面ABC
∴PO⊥AB，
∵PC∩PO=P
∴AB⊥平面PCO，
∵CO∈平面POC，
∴AB⊥CO，
同理BC⊥AO，AC⊥BO，
AO,BO,CO是三条高的一部分,
三条高必交于一点,
∴O是三角形ABC的垂心。

Answer 2

因为PO⊥α，所以PO分别垂直AB、BC、AC,又因为PA⊥BC，所以BC⊥平面PAO，所以AO⊥BC,同理BO⊥AC,CO⊥AB。所以呢 O点是三条边高的交点，也就是垂心

Answer 3

这个用向量法解啊。很快的！
由于向量电脑上不好打就不详细写了
祝你好运！！