Question

如果矩阵可逆，那么方程有没有惟一解

Answer 1

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵：

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有：

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有：

|0 A   |

|-B En|

所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

解线性方程组

记线性方程组的系数矩阵为A,增广矩阵为B= (A,b)，则：

()R(A)= R(B)= n,方程组有惟一解;

(i)R(A)= R(B) < n,方程组有无穷解;

(i)R(A) < R(B)，方程组无解。