Question

设函数f(x)=lnx+ax, 若f(x)在[2,3]上是增函数,求a的取值范围

Answer 1

一个函数在某区间是增函数，则在区间内其导函数恒≥0。因为f’（x）=1/x+a，就是把1/x的图像向上向下平行移动。因为1/x在x∈[2，3]上为减函数，所以f’（x）在x∈[2，3]上也是减函数。则f’（x）min=f’（3）=1/3+a，则令1/3+a≥0即可。
解得a≥1/3。因此，当a∈[1/3，+∞）时，f（x）在x∈[2，3]上为增函数。

Answer 2

定义域为x>0
a>=0时，lnx, ax 都为增函数，因此f(x)=lnx为增函数，符合要求
a<0时，f'(x)=1/x+a=0, 得极值点x=-1/a，
在0<xa时为增函数，因此有; -1/a>=3, 得：-1/3=<a<0
综合得: a>=-1/3.