Question

设X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),利用单调有界准则证明数列｛Xn｝收敛,并求其极限.？

Answer 1

首先,由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数).（由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0.这个是利用下面不等式的基础）
其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab).因此Xn>=1(n>1)
最后证明单调性：Xn+1-Xn=1/2(1/Xn-Xn).因为Xn>=1,因此1/Xn,8,证明: x1=a>0 （我认为此处应该a>1)
a=1为常数列
利用数学归纳法 x1>x2 x2=1/2(a+1/a)
xk xk+1=1/2(xk+1/xk)>1 均值不等式
即数列为单调...,1,