用函式极限定义证明lim(x趋向-2)x^2=4
用函式极限定义证明lim(x趋向-2)x^2=4
分析：对于epsilon>0
要使|x^2-4|<epsilon，相当于要使|x-2|*|x+2|<epsilon；
而当x接近2时，比如|x-2|<1，则1<x<3，因此3<|x+2|<5，
这时要使|x-2|*|x+2|<epsilon，只要|x-2|<epsilon/5；
上面对于|x-2|提出了2个限制：|x-2|<1和|x-2|<epsilon/5，
因此选择delta=min{1,epsilon/5}>0即可。
以下是综合证明：
对于任意epsilon>0，取delta=min{1,epsilon/5}>0，
当|x-2|<delta时，|x+2|<3+2=5，
因此|x^2-4|=|x-2|*|x+2|<5*delta<epsilon
根据函式极限的定义，这说明lim{x->2}x^2=4.
用极限定义证明x趋近与2 lim x^2=4
对任意正数 ε>0 ，取 δ=min(ε，1) ，
则当 |x-2|<δ ，即 2-δ<x<2+δ 时 ，有 |x^2-4|=|x+2|*|x-2|<3ε ，
因此，lim(x→2) x^2=4 。
用极限定义证明lim(x趋近于2)x^2=4
方法一
lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)
因为x 2和x-2在x-->2连续，所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0
所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0
即当x趋近于2时，x^2的极限等于4
方法二
证明：首先，限定1<x<3,|x 2|<5.
对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时，有
|x²-2²|=|x 2||x-2|<5|x-2|<ε
成立。所以lim(x趋近于2)x^2=4
用函式极限定义证明lim(x趋于t)cosx=cost
用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是。
证明 任意给定ε>0，要使
|cosx-cost| = |-2sin[(x-t)/2]sin[(x+t)/2]| <= |x-t| < ε，
只须取 δ = δ(ε) = ε > 0，则当 0< |x-t| < δ 时，就有
|cosx-cost| <= |x-t| < δ = ε，
根据极限的定义，得证。
用函式极限定义证明lim(x→-∞）3x^2-1/x^2+3=3
证明：对任意ε>0，解不等式
│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│=10/(x^2+3)≤10/x^2<ε
得x<-√(10/ε)，取A≥√(10/ε)。
于是，对任意ε>0，总存在正数A≥√(10/ε)，当x<-A时，有│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│<ε，
即lim(x->-∞)[(3x^2-1)/(x^2+3)]=3。
利用函式极限定义证明lim(x→2)(1/x-1)=1
|1/（x-1）-1|=|(x-2)/(x-1)|
任取一个正数0<ε<1/5，取δ=ε/2，则
可得当|x-2|<δ=ε/2时,x-1∈(-ε/2+1,ε/2+1)
由ε<1/5得，-ε/2>-1/10,-ε/2+1>9/10,所以x-1>9/10,1/|x-1|<10/9<2
又|(x-2)/(x-1)|=|(x-2)|/|(x-1)|<2|x-2|<2*δ=ε,即|(x-2)/(x-1)|<ε
由ε的任意性可知，lim[ 1/（x-1）](x→2)=1
命题得证
用函式极限定义证明下列极限lim(x→∞)arctanx/x²=o
当x→∞时，arctanx→π/2，x²→∞。常数/∞=0.故lim(x→∞)arctanx/x²=o
根据函式极限定义证明x→1lim(x^2-1)=0
当 |x-1| < 1 时，有 |x+1| < 3，
对任意正数 ε > 0，取 δ = min(ε/3，1) ，则当 |x-1|<δ 时，
有 |x^2-1| = |x+1|*|x-1| < 3*ε/3 = ε，
所以 lim(x->1) (x^2-1) = 0 .
极限定义证明lim ln(1+ 1/x)=0 x趋向无限大
首先，当x>0时，1/x>0.
对任意ε>0,存在x>1/ε,使得1/x<ε.
所以1/x的极限是0，当x趋向于无穷大。
根据函式极限定义证明： lim(x~1)x^2-3x+2/(x_1)=-1
lim(x~1)x^2-3x+2/(x-1)=lim(x~1)(x-2)(x-1)/(x-1)=lim(x~1)（x-2）=-1
