Question

如图，在平面直角坐标系中，点A C 的坐标分别为（-1，0）（0，-根3）点B在X轴上

如图，在平面直角坐标系中，点A,C的坐标分别为(-1,0)(0,-3),点B在X轴上,已知某二次函数的图像经过A,B,C三点，且它的对称轴为直线X=1,点P为直线BC下方的二次函数图像上的一个动点（点P与B,C不重合），过点P作Y轴的平行线交BC于点F，交X轴于E，求该二次函数的解析式?若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长?求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标?

Answer 1

设二次函数y=ax^2+bx+c
因该函数经过点C(0,-3)，则c=-3
又该函数经过点A(-1，0)，函数一根为-1，它的对称轴为直线X=1，则另一个根为3
代入两根，则a=1， b=-2， 二次函数的解析式y=x^2-2x-3；

直线BC y=x-3
点F的坐标（m，m-3），点P的坐标（m，m^2-2m-3）
线段PF的长=m-3-（m^2-2m-3）=3m-m^2

△PBC面积，边BC长度固定，故△PBC面积取最大值时，点P到BC的距离最大
过点P做垂直BC的线，交BC于点D，则形成直角三角形PFD，PF为斜边，因直线BC
的斜率为1，角PFD=45度，线段PD=（3m-m^2）/（根号下2），
当m=1.5时，线段PD取最大值
此时点P的坐标（m，m^2-2m-3）为（1.5，3.75）

Answer 2

设二次函数y=ax^2+bx+c
因该函数经过点C(0,-3)，则c=-3
又该函数经过点A(-1，0)，函数一根为-1，它的对称轴为直线X=1，则另一个根为3
代入两根，则a=1， b=-2， 二次函数的解析式y=x^2-2x-3；

直线BC y=x-3
点F的坐标（m，m-3），点P的坐标（m，m^2-2m-3）
线段PF的长=m-3-（m^2-2m-3）=3m-m^2

△PBC面积，边BC长度固定，故△PBC面积取最大值时，点P到BC的距离最大
过点P做垂直BC的线，交BC于点D，则形成直角三角形PFD，PF为斜边，因直线BC
的斜率为1，角PFD=45度，线段PD=（3m-m^2）/（根号下2），
当m=1.5时，线段PD取最大值
此时点P的坐标（m，m^2-2m-3）为（1.5，3.75）