Question

已知函数f(x)=根号3sinwxcoswx+sin^2wx(w>0)的最小正周期为兀,

(1)求w的值 (2)求函数的最大值及相应的x值 (3)若将函数f(x)的图象向左平移兀/3个单位长度得到函数g(x)的图象.求函数g(x)的单调递减区间

Answer 1

解：f(x)=根号3sinwxcoswx+sin^2wx = [（ 根号3）/2]sin2wx + ( 1 - cos2wx)/2
= sin ( 2wx - 兀/6 ) - 1/2
(1) T = 2兀/(2 w )= 兀 w = 1 f(x)=sin ( 2x - 兀/6 ) - 1/2
(2) 当sin ( 2x - 兀/6 ) = 1 即 2x - 兀/6 = 2k兀 + 兀/2 (k是整数)
x = k兀 + 兀/3 (k是整数) 时， f(x) 有最大值 1/2
(3) 将函数f(x)的图象向左平移兀/3个单位长度得到函数g(x)的图象.
则 g(x) = sin [ 2( x+ 兀/3 ) - 兀/6 ] - 1/2 = sin ( 2x + 兀/2 ) - 1/2 = cos 2x - 1/2
因为 y = cos x 的减区间是 [ 2k兀 , 兀 + 2k兀 ](k是整数)
所以 2k兀 《 2x 《 兀 + 2k兀 ，k是整数
即 k兀 《 x 《 兀/2 + k兀 ,k是整数
所以 函数g(x)的单调递减区间 [ k兀 , 兀/2 + k兀 ](k是整数)