Question

高中数学压轴题

Answer 1

第一问存在
因为f(-x)=-f(x)为奇函数，所以f(0.44)=-f(-0.44)=-0.02加减0.01<0 且f(0.4)在精度范围内>0
所以必有介于(0.4,0.44)之间的值能使f(x)=0
二问：
设x1>x2属于（负无穷，-0.3）则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[a(x1+x2/2)^2+(3a/4)x2^2+b]
又据表中数据 可得f(-1)=-(a+b)=4>0,f(0.4)=0.064a+0.4b=0.8>0.可得a<0,b>0.令L=a(x1+x2/2)^2+(3a/4)x2^2+b，则L的最大值当x1=x2/2=-0.3时L取到最大值
且最大值L(max)=0.63a+b
设函数g(x)=ax^2+b 则f(x)=xg(x)分别在x=0，及x属于(-0.44,-0.4)和(0.4,0.44)之间有f(x)=0
所以g(0.5)=0.25a+b<0
L(max)=0.63a+b<g(0.5)<0 所以x1>x2属于（负无穷，-0.3）时f(x1)<f(x2)恒成立 可证f(x)在（负无穷，-0.3）上递减
三问：
结论正确。【其实在高等数学中该结论叫做拉格朗日中值定理】
证明：引进辅助函数F(x)=f(x)-f(-1)-[f(t)-f(-1))/(t+1)]*(x+1)
容易验证F(t)=F(-1)=0,且F(x)'=f(x)'-(f(t)-f(-1))/(t+1) 可知在（-1,t）内至少有一点m，使F(m)'=0.即f(m)'-(f(t)-f(-1))/(t+1)=0
即f(m)'=(f(t)-f(-1))/(t+1) 得证
令f(x)'-(f(t)-f(-1))/(t+1)=0因为b-(f(t)-f(-1))/(t+1)=[(t+1)b-f(t)+4]/(t+1)=(-at^3+b+4)/(t+1)=-a(t^3+1)(t+1)=-a(t^2-t+1)=-a[(t-1/2)^2+3/4]>0恒成立
得方程的根x=+-√([(t-1/2)^2+3/4])/3
所以x最小值t=2时 x=-1
令x<t解得 t>1/2或t<-1
所以-1<t<=1/2时存在1个m，1/2<t<2时存在2个m

Answer 2

取两点代入方程得：f(x)=-5X的3次方+X，令f(x)=0得x=0或x=0.447或x=-0.447在此范围内无零点。
2.对f(x)求导，并令其等于0，x<0.3在其导数》0的范围内，所以是增区间。

追问

没解完整啊，老兄给力啊