求证：1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(n+n)
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利用柯西不等式：
∵[1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(2n)]^2
<(1^2+1^2+……+1^2)[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【不可能取等号】
=n[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【适当缩小分母部分】
<n{1 [(2n-1)(2n)]【裂项求和】 =n[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+……+1/(2n-1)-1/(2n)]
=n[1/n-1/(2n)]
=1/2
∴1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(n+n)<√2/2
∵[1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(2n)]^2
<(1^2+1^2+……+1^2)[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【不可能取等号】
=n[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【适当缩小分母部分】
<n{1 [(2n-1)(2n)]【裂项求和】 =n[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+……+1/(2n-1)-1/(2n)]
=n[1/n-1/(2n)]
=1/2
∴1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(n+n)<√2/2
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