Question

已知如图，直线l1‖l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D。在C、D之间有一点P，如图P

已知如图，直线l1‖l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D。在C、D之间有一点P，如图P点在C、D之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变法？若点P在C、D两点外侧运动时（点P与点C，D不重合），试探索∠1、∠2、∠3之间的关系又是如何？
用两种方法，一种是过p做平行线，还有一种是什么？

Answer 1

解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：

过点P作PE∥l1，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：

∵l1∥l2，

∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：

∵l1∥l2，

∴∠PED=∠PAC，

∵∠PED=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

Answer 2

分析:当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答:

 

 

如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

Answer 3

∠3＝∠1＋∠2
两种方法，一种是过p做平行线
另一种是过B做AP平行线，在l2下方，运用两边平行的边相等。不过这种很烦啊，有可能出同旁内角

追问

请问，可以具体点吗

追答

你画个图
过B做AP平行线，在l2下方方向，运用两边平行的角相等

追问

可以麻烦你把步骤简单的写出来吗？

追答

我已经把所有步骤都写完了啊！
过B做AP平行线，在l2下方方向，运用两边平行的角相等
实际上是运用内错角，把∠2转移

Answer 4

考点：平行线的性质．
专题：探究型．
分析：（1）过点P作l1的平行线，根据平行线的性质进行解题．（2）（3）都是同样的道理．
解答：解：（1）∠1+∠2=∠3；
理由：过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3；

（2）同理：∠1+∠2=∠3；

（3）同理：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．
理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，
∴∠1-∠2=∠3；
当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．
点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

Answer 5

解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
证明：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，（等量代换）
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，（两直线平行，内错角相等）
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
证明：
∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，（两直线平行，同位角相等）
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．（等式的性质）
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，结论：∠PAC=∠PBD+∠APB．
证明：
∵l1∥l2，
∴∠PED=∠PAC，（两直线平行，同位角相等）
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
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