Question

高数积分∫r^3（1-r^2）dr

∫r^3[（1-r^2）^1/2]dr上边打错了。。

Answer 1

∫r^3[（1-r^2）^1/2]dr
设（1-r^2）^1/2=t->r^2=1-t^2
∫r^3tdr=∫td(r^4/4)
=∫td[(1/4)*(1-t^2)^2]
=∫td(t^4/4-t^2/2+1/4)
=∫t(t^3-t)dt
=∫(t^4-t^2)dt
=t^5/5-t^3/3+C
=-(1/3)r^2(1-r^2)^(3/2)+C

Answer 2

∫r^3（1-r^2）dr
=∫(r^3-r^5)dr
=∫r^3dr-∫r^5dr
=(1/4)r^4-(1/6)r^6+c.

追问

上边打错了，麻烦再看下

追答

那就要进行分步积分了。
∫r^3[（1-r^2）^1/2]dr
=(1/2)∫r^2[（1-r^2）^1/2]dr^2
=-1/2∫r^2[（1-r^2）^1/2]d(1-r^2)
=-1/3∫r^2d[（1-r^2）^3/2]
=-(1/3)r^2*[（1-r^2）^3/2]+1/3∫[（1-r^2）^3/2]dr^2
=-(1/3)r^2*[（1-r^2）^3/2]-1/3∫[（1-r^2）^3/2]d(1-r^2)
=-(1/3)r^2*[（1-r^2）^3/2]-2/15（1-r^2）^5/2+c.

Answer 3

设r=sinθ,θ∈(-π/2，π/2),那么有：dr=cosθdθ，(1-r²)^(1/2)=cosθ
于是原式=∫sin³θcos²θdθ=∫(cos²θ-1)cos²θdcosθ=1/5*(cosθ)^5-1/3*(cosθ)^3+C，将r=sinθ代回去得：原式=1/5*(1-r²)^(5/2)-1/3*(1-r²)^(3/2)+C

Answer 4

∫r^3[（1-r^2）^1/2]dr
=(1/2)∫r^2[（1-r^2）^1/2]dr^2
=-1/2∫r^2[（1-r^2）^1/2]d(1-r^2)
=-1/3∫r^2d[（1-r^2）^3/2]
=-(1/3)r^2*[（1-r^2）^3/2]+1/3∫[（1-r^2）^3/2]dr^2
=-(1/3)r^2*[（1-r^2）^3/2]-1/3∫[（1-r^2）^3/2]d(1-r^2)
=-(1/3)r^2*[（1-r^2）^3/2]-2/15（1-r^2）^5/2+c.

Answer 5

∫r^3dr-∫r^5dr
r^4/4-r^6/6+c

追问

上边打错了，麻烦再看下