Question

初二几何题（十种方法）

在三角形ABC中,∠A=70°,D为AC上一点∠A角平分线AE交BD于H,AH:HE=3:1,BH:HD=5:3,求∠C度数

（用十种不同的方法解出来）（有一种算一种，谢谢大家了）

Answer 1

解：（1）第一种方法：

取BH的五等分点F，使FH=1/5BH，连接EF

∵BH:HD=5:3

∴BF =FD     AH:HE=3:1

又 AH:HE=3:1

∴EF // CD

又∵BF =FD  

∴BE=EC

得出AE是△ABC的中线

又∵AE也是角平分线  两线合一

∴△ABC是等腰三角形，

顶角∠A=70度

得∠C = （180 -70）/ 2 = 55度

这些符号打起来真费时并且吃力，老兄，你这个题也只有我这种人给你答了。

就这种方法只要证明到AE是中线就行，然后变形就成了几种方法了。

    （2）第二种方法：

在第一种的基础上变一点，不去五等分点，直接过点E作EF//CD，然后得出EH/AH=FH/HD，其实质和第一种方法一样，前面一个是利用平行的判定定理，这个用的是平行的性质定理。

    

     （3）第三种方法：

过点D作DF//EC交AE于F

则DF/BE=FH/HE=DH/HB=3/5     DF/EC=AF/AE

所以，DF=3/5BE  ,  FH=3/5HE

又 AH:HE=3:1

得，AF=AH-FH=3HE-3/5HE=12/5HE=12/5*1/4AE=3/5AE

所以，DF/EC=AF/AE=3/5

又，DF/BE=3/5

所以，BE=EC  ，点E为BC的中点。

后面的过程就和第一种方法一样。

还是跟第二种方法差不多，用的也是平行的性质定理。

    （4）第四种方法：

在AH上取一点F，使FH=1/5AH

证明过程和第三种方法类似，用的是平行的判定定理。

    

    （5）第五种方法：

过点E作EG//AB,交DB于F，交AC于G，

由，EG//AB

得，EF/AB=FH/HB=EH/AH=1/3

DF=DH-FH=DH-1/3HB=3/8DB-1/3*5/8DB=1/6DB

在△DAB中，

GF/AB=DF/DB=1/6

得，GE=GF+EF=1/6AB+1/3AB=1/2AB

又，GE//AB

得，CE=1/2CB ，

所以点E为CB的中点。

剩下的证法同前面一样。

    （6）第六种证法：

在DB上取一点F，使FH=1/3BH，连接EF，延长交CA于G，由EH/AH=1:3，可得EF//AB

剩下的证法同第五种方法一样。

   （7）第七种方法：

延长AE至F，使AE=EF,连接BF，则AH=3/5HF

DH=3/5BH

得到DH/BH=AH/HF

则AD//BF

所以，∠CAF=∠BFA

又，AF是角平分线

得，∠BFA=∠BAF，

三角形ABF为等腰三角形，

因为，AE=EF,根据三线合一

得BC垂直AE，

在三角形ABC中两线合一

则三角形ABC等腰三角形

剩下的证法一样，得证

把作的辅助线AE=EF稍加变形

   （8）第八种方法：

过点B作BF//AC交AE的延长线于F，

证明方法和第七种差不多。自己琢磨。

    （9）第九种方法：

延长AE至F，连接BF，使AB=BF,

证明方法和第七种差不多。

   

    （10）第十种方法：

过点H作HF//BC交AC于F

在△AEC中，

由，AH:HE=3:1，HF//BC 

得，HF/EC=AH/AE=3/4

在△DBC中，

由，BH:HD=5:3 ，HF//BC 

得，HF/BC=DH/BD=3/8

所以，EC=1/2BC,点E为BC的中点，剩下的证明过程相同。

    （11）第十一种方法：

取AC四等分点，使AF:FC=3:1，可得HF//EC

证法和第八种方法一样

    Q.E.D

       到此，十种方法都给你找全了，也只有我会这么无聊，乖乖的在这里给你找，如果你还觉得不够，还需要其他的解法，我还可以给你想。 

（下附图参考）