Question

设D是平面区域0＜=x＜=1,0＜=y＜=1,则二重积分∫∫xydxdy=

Answer 1

设D是平面区域0＜=x＜=1,0＜=y＜=1,则二重积分∫∫xydxdy=1/4。

解题过程如下：

∫∫xydxdy=∫[0→1]xdx∫[0→1]ydy=1/2x²|[0→1]*1/2y²|[0→1]=1/4

解析：对于二重积分，一般使用的方法是累次积分，即先积分x后积分y,或反之。在本题中，积分区域为0≤x≤1，0≤y≤1的正方形，因此x与y相互独立，互不影响，因此可以将二重积分∫∫xydxdy拆成0≤x≤1时∫xdx的积分与0≤y≤1时∫ydy积分的乘积。

扩展资料

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy。