Question

不定积分∫e^xsinxdx

Answer 1

∫e^xsinxdx=½e^x[sinx-cosx]+C。（C为积分常数）

解答过程如下：

∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)=sinxe^x-∫e^xd(sinx)= sinxe^x-∫e^xcosxdx

对第二项再用一次分部积分法

∫e^xcosxdx=∫cosxd(e^x)=cosxe^x-∫e^xd(cosx)

=cosxe^x+∫e^xsinxdx

代入第一个等式，可得

∫e^xsinxdx=sinxe^x-[cosxe^x+∫e^xsinxdx]

粗体部分移到同一侧，可得

∫e^xsinxdx=½e^x[sinx-cosx]+C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。

两边积分得：∫u'vdx=∫(uv)'dx-∫uv'dx。

即：∫u'vdx=uv-∫uv'd,这就是分部积分公式。

也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c