Question

求考研数学中常用的几个泰勒展开公式，谢谢！

Answer 1

inx=x-1/6x^3+o(x^3)

arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)

tanx=x+1/3x^3+o(x^3)

arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)

ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)

cosx=1-1/2x^2+o(x^2)

以上适用于x趋于0时的泰勒展开

扩展资料：

泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

在数学中，泰勒级数（英语：Taylorseries）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（SirBrookTaylor）的名字来命名的。

通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。泰勒级数在近似计算中有重要作用。

定义：如果  在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数称为  在点x0处的泰勒级数。 

在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

1幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

3泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数  ，当x≠0且f(0)=0，则当x=0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x=0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时  并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，  就可以被展开为一个洛朗级数。

基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；

基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主要是收敛性)

参考资料：百度百科-泰勒级数