Question

二阶常系数齐次线性微分方程

Answer 1

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用  。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

Answer 2

这是一类很特殊的方程，前缀有点多，是一类范围很小的方程，但在物理中经常见到，故单独拿出来进行讨论。

我们先从二阶线性微分方程入手，y″+P(x)y′+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y″+py′+qy=0.

要求解这个方程，可以先求出它的两个线性无关的特解，再由解的叠加原理得到通解。

设解的形式为y=erx代入方程即得到(r2+pr+q)erx=0⇒r2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。需要分三种情况讨论：

1）特征方程有两个不等实根r1≠r2

则两个特解为y1=er1x,y2=er2x，而y1y2≠C，故通解为y=C1er1x+C2er2x.

2）特征方程有一对共轭复根r1=a+bi,r2=a−bi,b≠0

则两个特解为y1=eax+bxi,y2=eax−bxi，由欧拉公式有y1=eax[cos(bx)+isin(bx)],y2=eax[cos(bx)−isin(bx)].

特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y11=12(y1+y2)=eaxcos(bx),y12=12(y1−y2)=eaxsin(bx).

它们也线性无关，因此通解为y=eax[C1cos(bx)+C2sin(bx)].

3）特征方程具有两个相等实根r1=r2

只能得到一个特解y1=er1x.设y2y1=u(x)⇒y2=y1u(x),代入原微分方程可得到u″=0.不放取u=x作为第二个特解。则通解为y=(C1+C2x)er1x.

以上结论可以推广到常系数n阶线性齐次微分方程。