Question

函数的极限的定义，跪求，急急急，高等数学，同济六版，谢谢啊

在高等数学中，函数的极限的定义是这样的：设函数F(X)在点X0的某一去心邻

域有定义，如果存在常数A，对于任意给定的整数ε（无论它多么小），总存在整数δ，使得当当|X-XO|<δ,|F(X)-A|<ε，那么A就是这个函

数的极限，那么我想问的是，函数的极限中，左极限右极限的定义域的δ必须相等吗，如果右极限的定义域是X0<X<X+δ1,左极限的定义是X0-δ2<X<X0,那么这个δ2，δ1必须相等吗，还有，如果可以不相等，δ1=8，δ2=12，如果左极限右极限的值是相等的，在δ=6的时候，|X-XO|<6,|F(X)-A|<ε,那么极限的值就是A,我们难道就不需要考核在δ>6的情况吗，是不是只需考虑在6到XO的范围，其他的不需要考虑啊，还望高手指点一下，谢谢,我会尽快采纳

Answer 1

不必相等，因为左右极限单独定义。
极限是你先找一个ε（任意找），那么存在δ，满足上式。既然δ=6能满足某个ε，那么大于6的显然也能满足，比如7显然也能满足，所以你说存在是7也可以。极限不是某一个值的问题，是任意给的ε，对应存在δ（注意，是存在，一个也是存在，一万个也是存在，无数个也是，只要你找出一个就可以了）
只要理解，任意ε，存在δ，就OK （δ一般是ε的函数δ(ε)且大于δ(ε)的所有函数的集合都可以作为那个δ，所以δ其实是一个集合，不是一个确定的数字）

追问

谢谢啊

Answer 2

函数极限中的δ重在存在性，并且δ是随着ε变化的，而ε是任意小的一个正数，所以δ本身就具有常量与变量的双重性。变量性是指它随任意小的正数ε发生变化，常量性是ε一旦给定了一个值，那么相应的一定会存在我们所需要的一个δ（当然δ是有无穷多个，因为一旦找到了一个，所有比它小的正数也完全符合要求）
所以
1、“函数的极限中，左极限右极限的定义域的δ必须相等吗”，答案是：没有必要一定相等，“存在”即可，管它具体等于多少呢
2、不需要考核δ>6的情况，因为δ已经找到了