Question

高中数学，第七题我为什么不能这么做，答案是B

Answer 1

依题意可知旋转后的几何体为一个圆锥减去圆柱的几何体，
所以它的表面积为AC旋转成的圆锥侧面积+EF旋转成的圆柱上底面积+DE旋转成的圆柱侧面积+CD旋转成的圆环面积，
因为AC长恒不变，所以计算时可忽略，
又因为BD=EF，所以EF旋转成的圆柱上底面积+CD旋转成的圆环面积恒等于BC旋转成的圆锥底面积，
所以计算时也可以忽略，
即旋转后的几何体的表面积仅取决于DE旋转成的圆柱侧面积，
设BD=x，则CD=DE=6-x，
所以该侧面积=2πx(6-x)=-2πx²+12πx，令函数y=-2πx²+12πx，
可知该函数图像为开口向下的抛物线，
其对称轴为x=-b/2a=(-12π)/(-4π)=3，即当x=3时y取得最大值，
所以当BD=x=3时旋转得到的几何体表面积最大，选B。
至于你所说的“圆柱体积越大则表面积越大”这个方法在此题并不适用，
正是因为EF与CD旋转成的面积恒不变，
换句话说就是当你令EF旋转成的面积越来越大时，CD旋转成的面积却越来越小，
所以解题的关键点仅在于令DE旋转成的面积最大。