Question

若关于x的不等式ax^2-ax+1>0对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

分类讨论：
设y=ax^2-ax+1

(i)若a＜0
则y=ax^2-ax+1是开口向下的抛物线
显然不可能都大于0

(ii)若a=0
则y=1＞0,显然在R上恒大于0，符合

(iii)若a＞0
则y=ax^2-ax+1是开口向上的抛物线
要使y=ax^2-ax+1＞0对于x∈R恒成立
那么判别式Δ=(-a)^2-4a=a^2-4a=a(a-4)＜0
所以0＜a＜4

综上，a的取值范围是{a|0≤a＜4}

追问

在(iii)若a＞0中，Δ为什么<0啊？

追答

因为对于开口向上的抛物线，要使它恒大于0的话，就不能与x轴有交点
所以方程组y=0无解
故判别式Δ小于0

Answer 2

判别式(--a)^2--4a小于0且a大于0
所以　实数a的取值范围是：0小于a小于4.

Answer 3

解：（1）当a=0时原式为：1>0，恒成立
（2）当a≠0时
∵ax²-ax+1>0对于x∈R恒成立
∴a>0 且△<0
即：a>0，△=a²-4a<0
解之得：0<a<4
综上所得：0≤a＜4

Answer 4

0<=a<4