Question

一道关于线段中点的证明问题：

对于三角形ABC，内切圆I与边AB相切于E点，旁切圆O与AB边相切于D点，已知F为AB边中点，如何证明F同样为DE的中点（如下图）

Answer 1

设圆I与AC、BC切于P、Q，圆O切CA、CB延长线于M、N，设BC、AC、AB分别为a，b，c。

显然有AP=AE，CP=CQ，BE=BQ分别设为x，y，z；AM=AD，CM=CN，BD=BN分别设为r，s，t

有x+y=b，y+z=a，x+z=c，解得z=(a+c-b)/2=BE

s-r=b，s-t=a，r+t=c，解得r=(a+c-b)/2=AD

所以AD=BE

因为AF=BF

所以DF=EF，即F是DE中点