Question

将n个相同的小球放入m个相同的盒子中，不允许有空盒，问共有多少种放法？

在题中有n>m

Answer 1

则n≥m
假设n个小球一个个横着排列好，这下就好办了
n个小球，当中有n-1个空格，在这n-1个空格里取m个空格进行分割
则有P(n-1)^m/m!
^代表m在n-1上面

追问

不过这个答案也是不对的 以n=5,m=3为例，则应该有（1,2,2）和（1,3,1）两种放法，其中（1,2,2）和（2,1.2）、（2,2,1）均是相同的放法，按你的公式答案是4，有重复……

追答

例如有一根n长木头，你只能把它切为整数单位长度的木头，那你切m-1刀把他分为m份
由n长度，把它分为单位长度1后，一共有n-1个空挡你可以下刀
第一刀你有n-1种切法，第二刀你只有n-2种，以此类推，最后的第m-1刀你有n-(m-1)种切法
共有 (n-1)(n-2)(n-3)……n-(m-1)种有序切法
而同时存在切出效果相同，排列也相同，但下刀顺序不同的切法，一共m-1刀，所以除以(m-1)!
得分法P(n-1)^(m-1)/(m-1)!。
放法不太好求
有一点我能提示，自然数n表达为k1+k2+k3+k4……km的方法种数

Answer 2

m的n-m次方

追问

具体一点……

追答

肯定是n>=m，先用m个小球填满所有格子，然后剩n-m个小球，那么这些小球可以任意放在哪，所以说剩下的n-m个小球都有m种放法，所以结果便是m的n-m次方。

追问

不对 如果有n=5个小球，m=3个盒子，则答案应该有（1,2,2）和（1,3,1）两种，其中（1,2,2）和（2,1.2）、（2,2,1）均是相同的放法，而按你的公式答案是9,显然不对嘛！

追答

这应该和把四个人放进五个房子是同一类问题。自己想想吧，如果你认为这是错的，那我就不会做了。

Answer 3

1、M个相同的球放入N个不同的盒子，允许有空盒子，有C（N-1，M+N-1）种。
推导出：M个相同的球放入N个不同的盒子，每个盒子至少有a个球，有C（N-1，M-aN+N-1）种，即将至少要放入的球扣掉，该命题转化为“将（M-aN）个相同的球放入N个不同的盒子，允许有空盒子”。当a=1时，有C（N-1，M-1）种。
例如：9个相同的球放入编号为1、2、3的三个箱子，要求每个箱子放球的个数不少于其编号数，有几种放法？有C(3-1,9-6+3-1)=C（2,5）=10种。
2、M个不同的球放入N个不同的盒子，允许有空盒子，有 N的M次方 种。例如：四个同学争三项冠军，冠军获得者有几种可能？有4的3次方=64种。
3、M个不同的球放入M-1个不同的盒子，每个盒子至少有一球，有C（2，M）乘以A（M-1，M-1）种。例如：4个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰好有一个空盒子的放法有几种？先选出一个空盒子，有4种；再将4个不同的球放入3个不同的盒子且每个盒子至少有一球，有C(2,4)A（3,3）种。所以，有4*C(2,4)A（3,3）种。

Answer 4

表示不出来的

追问

为什么呢？

追答

因为这相当于正整数的和分解，需要分类讨论，而已知条件讨论起来比较麻烦
貌似做个程序解决会好