Question

已知正方形ABCD,BD是对角线,将三角板的直角顶点P在射线BD上移动……

（图一是一个大正方形，点的标号左上角为A，右上角为D，右下角为C，左下角为B，连接BD，直角三角板的直角顶点P在BD靠近D点附近，三角板右下角为60度，左下角为30度）
已知正方形ABCD,BD是对角线,将三角板的直角顶点P在射线BD上移动，两直角边分别与边AB，BC交与点E，F

①在图一中，证明PE=PF
（图二：把图一中EF连接起来，与BD的交点为G）
在图二中，点G是EF与BD的交点，请你探究△PBF与△PFG是否相似？并说明理由，若相似，设PG=根号下3除以2PF，求△PBF与△PFG的面积之比。

Answer 1

如图，作辅助线，由PH=PI ，角IPE=角HPF，角PIE=角PHF，可知这两个三角形全等，PE=PF。

△PBF与△PFG相似，首先，角FPG=角BPF，由PE=PF，可知角PFG=角PBF=45度，两三角形相似。

可知△PBF与△PFG中，PF与PG是对应的相似边，S△PBF / S△PFG = (PF/PG)的平方= 4/3

Answer 2

1、过P作AB、BC垂线，足分别为HI，则HPIB为正方形，PH=PI，又∵∠EPF=∠HPI=RT∠，∴∠EPH=∠FPI，∴△PEH≌△PFI，∴PE=PF
2、由第1小题可知△PEF为等边直角△，△BCD为等边直角△，∴∠PFG=∠PBF=45度，∴三角形PBF和三角形PFG相似，PG与PF为对应边，PG/PF=PG/PE=3^(1/2)/2，∴S△PBF/S△PFG=(PE/PG)^2=(2/3^(1/2))^2=4/3