Question

概率论与数理统计 多维随机变量

一、设随机变量（X,Y）的概率密度函数为f(x,y)={4xy, 0<=x<=1,0<=y<=1
{0 ,其他
求X、Y的联合分布函数F（x,y）
二、设二维随机变量（X,Y）在区域D={(x,y)/0<x<1,|y|<x}内服从均匀分布，求：1、（X,Y）的概率密度函数 2、X、Y的边缘概率密度函数 3、P{X<0.5}

Answer 1

一，F(x,y)
= ∫_(-∞<s<=x) ds ∫_(-∞<t<=y) f(s,t) dt = { 0, x<0 或 y<0
={ ∫_(0<=s<=x) ds ∫_(0<=t<=y) 4st dt =x^2y^2 0<=x<1 且 0<=y<1
={ ∫_(0<=s<=1) ds ∫_(0<=t<=y) 4st dt =y^2 x>=1 且 0<=y<1
={ ∫_(0<=s<=x) ds ∫_(0<=t<=1) 4st dt =x^2 0<=x<1 且 y>=1
={ ∫_(0<=s<=1) ds ∫_(0<=t<=1) 4st dt =1 x>=1 且 y>=1

二，1. D={(x,y)/0<x<1,|y|<x} = {(x,y)/0<x<1,-x<y<x}，所以，D的面积为
∫∫D dxdy = ∫_(0<=x<=1) dx ∫_(-x<=y<=x) dy =∫_(0<=x<=1) 2x dx = 1^2 - 0^2 =1
因为是均匀分布，所以，概率密度
f(x,y) = { 1 0<x<1,-x<y<x
{ 0 其他

2. f(x) = ∫_(-x<=y<=x) f(x,y) dy = ∫_(-x<=y<=x) dy = 2x , 0<x<1
f(y) 比较讨厌，要分两片，-1<=y<=0时，左边界是直线 y=-x，右边界x=1，
0<y<=1时，左边界是直线 y=x，右边界还是x=1，所以，
f(y) = { ∫_(-y<=x<=1) f(x,y) dx = { 1+y -1<=y<=0
= { ∫_(y<=x<=1) f(x,y) dx = { 1-y 0<y<=1

3. P(X<0.5) = ∫_(0<=x<0.5) dx ∫_(-x<=y<=x) dy = ∫_(0<=x<0.5) 2xdx = 0.5^2 - 0^2 = 0.25
直接求左边三角形面积也行，一样的 1/4

自己画图对照吧，贴图太麻烦了。。。