Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且在区间[3,5]上单调递增，则函数f（x）在区间[1,3]上的最大

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且在区间[3,5]上单调递增，则函数f（x）在区间[1,3]上的最大值、最小值是？

Answer 1

f(x+2)＝f((1+x)+1)＝f(1-(1+x))＝f(-x)＝-f(x)
f(x+4)＝f((x+2)+2)＝-f(x+2)＝f(x)，所以f(x)以4为周期
f(x)在[3,5]上单调递增，则由周期性f(x)在[-1,1]上也单调递增，再由f(x+2)=-f(x)，所以-f(x)在[1,3]上单调递增，即f(x)在[1,3]上单调减少，所以f(x)在区间[1,3]上的最大值是f(1)，最小值是f(3)

Answer 2

令x'=x-1 x属于[3,5]
则f（x）=f（2-x）=-f（x-2）
f（x）为周期函数，周期为4
所以f（x-2）=-f（x） x-2属于[1,3]
则f（x）在[1,3]上递减
且f（1）=f（5）=-f（3）
f（0）=f（2）=f（4）=0
最大值f（1）
最小值f（3）

Answer 3

解：∵f(1+x)=f(1-x)，即到x=1距离相等自变量函数值相等，函数图象关于x=1对称，又f(x)为奇函数。关于原点中心对称。∵在区间[3,5]上单调递增，又x=3到x=1的距离为2，x=-1到x=1的距离为2，可知在[-1，1]递增，又因为关于x=1对称，所以在[1，3]上递减。
只知道f（1)最大，f（3）最小。但具体的值不能求。