Question

椭圆有哪些基本性质？

Answer 1

1．椭圆的简单几何性质

　　以方程 为例：

　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

　　（3）顶点：共有四个，即 ，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

　　（4）离心率： ，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

　　若设a不变，∵ ，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

　　2．椭圆的第二定义

　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆 ，与F（c，0）对应的准线方程是 ，与F′（－c，0）对应的准线方程是 ，如果椭圆方程是 ，则两条准线方程是 ，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

　　3．椭圆的参数方程

　　从椭圆方程 联想三角公式 ，

　　若令 即 ，这就是椭圆的参数方程。

　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数