Question

高一三角函数题

已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f（1-x)=f（1+x)成立，设f(x)二次项系数为m（m≠0）,当x∈【0，π】时，求不等式f(2sin²x+1）>f(cos2x+2)的解集

Answer 1

解：由题意可知：二次函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1
则可设f(x)＝m(x-1)²+n （m≠0）,
因为f(2sin²x+1）>f(cos2x+2)
所以：m(2sin²x)²+n>m(cos2x+1) ²+n
即：m(2sin²x)²>m(2cos²x) ² （*）式
则：（1）当m>0时，（*）式可化为：(sin²x)²>(cos²x) ²
即： (sin²x)²－(cos²x) ² >0， (sin²x+cos²x)(sin²x－cos²x)>0
也就是：cos2x<0
因为：x∈[0，π]即2x∈[0，2π]
所以由cos2x<0得π/2<2x<3π/2即π/4<x<3π/4
（2）当m<0时，（*）式可化为：(sin²x)²<(cos²x) ²
即： (sin²x)²－(cos²x) ² <0， (sin²x+cos²x)(sin²x－cos²x)<0
也就是：cos2x>0
因为：x∈[0，π]即2x∈[0，2π]
所以由cos2x>0得0≤2x<π/2或3π/2<2x≤2π即0≤x<π/4或3π/4<x≤π
故综合（1）（2）可知：
当m>0时，不等式f(2sin²x+1）>f(cos2x+2)的解集为｛x|π/4<x<3π/4｝
当m<0时，不等式f(2sin²x+1）>f(cos2x+2)的解集为｛x|0≤x<π/4或3π/4<x≤π｝