Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，点C是OA的中点，抛物线

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，点C是OA的中点，抛物线y=ax²+bx+c经过点A,B,C三点。求（1）求抛物线的表达式（2）点P是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，且以BP为直径的圆Q经过点C，求点P坐标（3）若点M是抛物线的对称轴上的点，则在抛物线撒谎能够是否存在点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在，求N点的坐标；若不存在，请说明理由
抱歉自己画图吧，画不上去

Answer 1

（1）由题意，A、B分别位于x轴，y轴上，因此设A、B坐标为（A,0）、（0,B），则C点坐标为（1/2*A,0）
∵A、B在直线y=-x+8上
,∴0=-A+8，B=-0+8；联立得A=8，B=8
∴A、B、C坐标为（8,0）、（0,8）、（4,0），y=ax²+bx+c经过此三点，带入方程，
a*8*8+b*8+8=0，a*0*0+b*0+c=8，a*4*4+b*4+c=0；联立解得a=1/4，b=-3，c=8
∴抛物线的表达式为y=1/4x²-3x+8
（2）由（1）知，B、C坐标为（0,8），（4,0），设P点坐标为（M、N）
∵BP为圆Q的直径，因此圆心Q点坐标为（1/2M，1/2(8+N)），半径为1/2BP
∴圆Q的解析式为(x-1/2M)²+[y-1/2(8+N)]²=1/4*[M²+(8-N)²]
∵圆Q过点C，带入化简得M-2N=4 ①
∴点P是抛物线y=1/4x²-3x+8上一点，将P带入得1/4M²-3M+8=N ②
由①②联立得M1=4，N1=0；M2=10，N2=3
∴P点坐标为（4,0）或（10,3） （说明：对于（2），不用解题，分析就会发现，显然P点和C点重合即可得到一个解，经过正规的推导演算也证明了这一点，因为（4,0）就是C点）。
（3）根据抛物线的性质，点M位于直线x=6上，设M坐标为（6，d），N点坐标为（e，f）
∵菱形四条边长度相等
∴AC=CM=MN=AN=4
即CM²=(4-6)²+(0-d)²=16 得d=±2*√3
∵抛物线最低点为（6，-1），当d=-2*√3 时M点已经位于抛物线最低点之下，N点不存在。
当d=2*√3 ，即M点坐标为（6，2*√3 ）
∵菱形对边相互平行
∴MN//CA，即MN平行于x轴，又MN=AC=4
∴e1=10，f1=2*√3 ；e2=2，f1=2*√3即N点坐标为（10，2*√3 ）或（2，2*√3 ）
带入抛物线y=1/4x²-3x+8验证发现N点没有在抛物线上
因此，抛物线上不存在点N，使得以点A,C,M,N为顶点的四边形为菱形。

Answer 2

(1)y=¼x²-3x+8
（2)P1(2,3)P2(12,8)
(3)N(6,-1)
同学，你是济南历下区的吧，自己做的，也不知道对不对，作参考吧。

追问

要步骤啊

Answer 3

1. A（8.0）B（0.8）C（4.0） 自己带吧
2.做直角三角形、
3.菱形性质 四边相等
呵呵 我首次开锋