Question

初二几何题，急急急！

1.已知平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC上点，且DE=CF,BE和AF交于M,CE和DF交于N
求证：MN=2分之1AD

Answer 1

证明：如图，连接EF。
∵四边形ABCD为平行四边形（已知）
∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等。）
又∵DE=CF（已知）
∴CDEF为平行四边形（判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形。）
∵N为平行四边形CDEF对角线的交点
∴N为DF的中点（平行四边形性质：平行四边形对角线的交点平分对角线。）
又∵AE=AD-ED
BF=BC-FC
∴AE=BF
∴四边形ABFE是平行四边形（判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形。）
∵M为平行四边形ABFE对角线的交点。
∴M为AF的中点（平行四边形性质：平行四边形对角线的交点平分对角线。）
在三角形AFD中，MN为三角形的中位线。
∴MN=1/2AD（三角形中位线定理：三角形两腰的中位线平行底边，并等于底边的一半。）

我是1977年上的初中，看了你的问题，一时手痒，便按我读时书的要求，写了证明。在证明时，定理历历在目，不禁想起当时的时光……。
现在由于计算机的开展，矢量几何的研究，中学的欧几里得几何学就不再向学生过多介绍了。遗憾的是：世界数学家公认的，充满严谨和美感的欧几里得几何学证明也很少见到了。
看了以上几个答案，写的都很好，可惜有点繁琐，证明有很多方法，以最简单，明了为好。呵呵，仅为个人看法，请别介意。

Answer 2

因为四边形ABCD是平行四边形
所以AD∥BC，AD=BC
因为AD=BC，DE=CF
所以AE=CF
因为AD∥BC，AE=CF
所以四边形ABFE是平行四边形
同理可得四边形CDEF是平行四边形
因为四边形ABFE是平行四边形
所以BM=ME
因为四边形CDEF是平行四边形
所以CN=NE
因为BM=ME，CN=NE
所以M、N是BE、CE的中点
所以MN是△BCE的中位线
所以MN=1/2×BC
又因为AD=BC
所以MN=1/2×AD

Answer 3

三角形的中位线学了么？没学我就没法做了。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC；AD∥BC
又∵DE=CF
∴AD-ED=BC-FC
∴AE=BF
又∵AD=BC
∴∠AEB=∠EBC；∠EDF=∠DFC
在△AEM与△FBM中，
∠AME=∠FMB；∠AEB=∠EBC；AE=BF
∴△AEM≌△FBM﹙AAS﹚
∴AM=FM
同理，△DEN≌△FCN﹙AAS﹚
∴DN=FN
∴MN是△AFD的中位线
∴MN=½AD