Question

求助几道高数题~~

1.根据级数收敛于发散的定义判别收敛性：[1/(1*3) ]+[1/(3*5)] +[1/(5*7)]+….+[1/(2n-1)(2n+1)]

2.判别下列级数收敛性（1）-(8/9)+(8^2)/(9^2)-(8^3)/(9^3)+….
(2) [(1/2)+(1/3)]+[(1/2^2)+(1/3^2)]+[(1/2^3)+(1/3^3)]+…
(3)2+(3/2)+(4/3)+(5/4)+…+[(n-1)/n] +…

Answer 1

1、Sn = ∑1/[(2n-1)(2n+1)] = 1/2-1/2(2n+1)
limSn = lim[1/2-1/2(2n-1)] = 1/2
所以级数∑1/[(2n-1)(2n+1)] 收敛

2、1)∑(8/9)^n =∑1/(9/8)^n为p>1的p级数，收敛，所以∑(-1)^n(8/9)^n绝对收敛，因此收敛
2)∑1/2^n与∑1/3^n均为p>1的p级数，收敛，所以∑(1/2^n+∑1/3^n) = ∑1/2^n + ∑1/3^n收敛
3) 你这前面的1,2,3项和通式不符，如果是∑(n+1)/n，则∑(n+1)/n>∑1发散
如果是∑(n-1)/n>∑(n-n/2)/n = ∑1/2发散

Answer 2

1、通项an＝1/(2n-1)(2n+1)＝1/2×[1/(2n-1)－1/(2n+1)]
前n项和Sn＝1/2×[1－1/(2n+1)]，极限是1/2，所以级数收敛
2、（1）此为等比级数，公比是-8/9，|-8/9|＜1，级数收敛
（2）级数的通项是两个等比级数∑1/2^n与∑1/3^n的通项之和，两个等比级数都收敛，所以原级数收敛
（3）（通项写错了，应该是n/(n-1)）通项的极限是1≠0，所以级数发散

Answer 3

1、[1/(1*3) ]+[1/(3*5)] +[1/(5*7)]+….+[1/(2n-1)(2n+1)]
因为1/(2n-1)(2n+1）=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
所以上式=1/2[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1]
=0.5-1/(4n+2)
2、（1） 本题公比是 -8/9 可根据公式an=a1q^(n-1)
（2）是由公比为1/2和1/3的两组数列组合而成的 在根据公式an=a1q^(n-1) 可以求的
（3）当n=无穷大 的时 (n-1)/n=1