Question

数学高等数学三重积分的问题

在同济大学高等数学第六版三重积分教材中，计算∫∫∫z^2dxdydz，其中空间闭区域为椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1。
教材的接法用的是：
∫∫∫z^2dxdydz=∫(-c,c)z^2dz∫∫dxdy=πab∫(-c,c)(1-z^2/c^2)z^2dz
其中(-c,c)指的是积分上下限，我想知道最后一步是怎麼得出来的，最好能详细说明一下。

Answer 1

∫∫dxdy是 面积分，相当于对于一个Z值，用z=Z平面截空间闭区域后得到的截面的面积
而截面方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1-z^2/c^2 为椭圆，椭圆的面积=πab（1-z^2/c^2 ）
πab是常数，直接积出 得到最后一步

追问

截面方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1吗，还有怎么得出椭圆的面积=πab（1-z^2/c^2 ）

追答

空间闭区域为椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
截面方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1-z^2/c^2
用面积积分得出的椭圆的面积公式，此时 把1-z^2/c^2 当成一个常数，就可以得出椭圆的面积=πab（1-z^2/c^2 ）
可以令x= a√（1-z^2/c^2 ）cosθ ，y= b√（1-z^2/c^2 ）sinθ dx=......dy=....
自己推导一下吧