Question

八年级数学 正方形

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F,如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.
(1)如图2，若点P在线段AO上，（不与点A, O重合），PE⊥PB且PE交CD与点E,
1.求证：DF=EF
2.写出线段PC, PA, CE之间的一个等量关系，并证明你的结论。
（2）若点P在线段OC上，（不与点C, O重合），PE⊥PB且PE交直线CD与点E ,请完成图3，并判断（1）中的结论1. 2.是否成立，若不成立，请写出相应的结论（所写结论不必证明）。【证明最好】谢谢。答的好有追加。
急急急，望好心人快点回答，谢谢了，55555555555555555555555555555555555555555555

Answer 1

：（1）连接BE、PD，过点P作AD的垂线，垂足为G，
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点，
∴点O为正方形中心，且AC平分∠DAB和∠DCB，
∵PE⊥PB，BC⊥CE，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠PEB=∠PCB=45°，∠PBE=∠PCE=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PB=PE，
在△PAB和△PAD中有：AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，AP为公共边，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PD，
又∵PF⊥CD，
∴DF=EF；

②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA= 2PG，PC= 2CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA= 2EF，
∴PC= 2CF= 2（CE+EF）= 2CE+ 2EF= 2CE+PA，
即，PC、PA、CE满足关系为：PC= 2CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC= 2CE．
如图：

①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA= 2PG= 2DF= 2EF，PC= 2CF，
∴PA= 2EF= 2（CE+CF）= 2CE+ 2CF= 2CE+PC
即，PC、PA、CE满足关系为：PA-PC= 2CE．

Answer 2

呃~也对不起，不会……

Answer 3

设AF于BE的交点为O
因为ABCD为正方形，所以AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠DAB=90°
又因为CF=DE，而CD=AD
所以DF=AE
所以△BAE全等于△ADF
所以AF=BE
∠DAF=∠ABE
∠AEB=∠AFD
因为∠DAF+∠DFA=90°
∠DAF+∠BEA=90°
所以△AOE为直角三角形
∠AOE=90°，
所以AF⊥BE

Answer 4

对不起......好难~~~